Trate el lector de pensar como explicaría un concepto matemático cualquiera, a una persona que no conoce dicho concepto. Verá que para hacerlo necesita representarlo de algún modo. Debe de usar cierto soporte que lo ejemplifique, lo encarne, lo nombre, lo concretice, lo haga participe de él,…sencillamente, repitámoslo,  debe usar  algo  que lo represente.

Es del todo imposible entender  el aprendizaje de las matemáticas sin la noción  de representación. Por la existencoa de lo matematico o tal vez creando así lo matemático hacemos o creemos hacer  representaciones.

Presentaré la noción de representación de un modo arriesgado. No me voy a preocupar en exceso sobre cuestiones  ontológicas previas acerca de que entiendo por objeto matemático. Y lo hago porque creo que sea lo que sea lo que entendemos por objeto matematico,  o el punto de vista filosofico de las matemática  que adoptemos, el concepto de representación en un sentido fuerte o débil es inevitable.

¿Qué entender por representación de una objeto matemático, desde un punto de vista Peirciano?

Un buen modo de empezar es considerar lo que establece  A. Ibarra (Variedades de la representación en la ciencia y la filosofía):

 «Una teoría representacionalista incorpora la asunción mínima de que conocemos algo (A), a través del análisis de otra cosa (B), a la que por cualquier razón, o bien podemos acceder más fácilmente, o nos resulta más conveniente explotar»

Es este el sentido general de representación que podemos establecer tambien  a partir de Peirce,  tal como comenta Deladalle  (Leer a Peirce hoy pág. 93):

 Para Peirce el signo es una representación en el sentido de “función de delegación”.

O en palabras del propio Peirce:

Una representación es un objeto que está por otro de manera que la experiencia del primero nos proporciona un conocimiento del segundo.

 O como Peirce establece en su definición famosa de signo (CP 2288)

Un signo, o representamen, es algo que está para alguien, por algo, en algún aspecto o capacidad. Se dirige a alguien, o sea, crea en la mente de esa persona un signo equivalente, o tal vez un signo más desarrollado. A este signo, que aquel crea, lo denomino el interpretante del primer signo. El signo está por algo, su objeto. Pero éste está por tal objeto no en todos los aspectos, sino respecto a un tipo de idea que algunas veces he llamado el fundamento (ground) del representamen.

Es decir para que algo se considere una representación se deben establecer tres condiciones esenciales:

• Debe serlo de algo.
• Debe transmitir algo sobre la cosa que trata.
• Debe ser capaz de conducir a algo más. Algo sobre lo que la cosa trata.

Dicho de otro modo, podemos usar algo  como signo o representación  de un objeto, con el propósito de tratar tal objeto, de interpretarlo y poder establecer relaciones con él desde nuestro acervo semiótico. Toda una «artillería» de representaciones que consideramos asociadas  a un cierto objeto matemático,  y que tratadas conjuntamente, permiten generar o ver  el significado de tal objeto.

 Desde este sentido general de delegación, vicariedad o subrogación  que otorgamos a una entidad B para conocer otra entidad A, me permitiré hablar de  B como entidad subrogatoria asociada a A. Con ello quiero especificar que las representaciones que utilizamos con fines de conocimiento matemático, las entiendo como subrogación. Más concretamente  y  siguiendo también a A. Ibarra:

• No vinculadas a un cierto isomorfismo entre lo representado y lo que se representa.
• Las representaciones no son evidentes, no "hablan por si­ mismas", necesitan ser interpretadas
• Una buena parte de la práctica  consiste en interpretar y reinterpretar representaciones.
• Debe considerarse diversos tipos de representaciones de representaciones. Es decir, una teoría  puede concebirse como una teoría reflexiva combinatoria de las representaciones.
• El objetivo básico de las representaciones es el razonamiento subrogatorio.
• Este razonamiento permite transferir inferencias y resultados obtenidos en el dominio representante a propiedades y relaciones identificadas en el dominio representado.
• El razonamiento subrogatorio permite explotar el rendimiento de las teorías identificables en el dominio representante aplicándolas al dominio representado.

Todo ello lo expresamos mediante la expresión  «A es B». B es la entidad más conocida y en ella con propósitos didácticos hacemos descansar cierto papel subrogatorio  de conocimiento, en relación a la entidad A, (desconocida para el principiante y  «anclada» en el mundo del saber matemático). Además, usualmente la entidad subrogatoria supone también todo un conjunto de acciones y procesos  contextualizados para que pueda desarrollarse la relación vicarial hacia el objeto matemático.

Podemos  establecer la subrogación de B sobra A de diversos modos. Metáforas, analogías, diagramas,  imágenes, contextos…  posibles y utilizados modos  para  decir, explicita o implícitamente, que el objeto matemáticos A es B en cierto sentido; y tienen, usando terminología Wittgensteniana, un aire de familia en tanto se les hace desempeñar algún tipo de subrogación con los objetos matemáticos.